T 64

Halbierung des syntonischen Kommas

Wolfgang Theodor Meister: Die Orgelstimmung in Italien und Süddeutschland, 1991

Die Tabelle >Offene Halbregelmäßige Systeme / Halbierung des syntonischen Kommas< (Seite 117) besteht aus ganzen Centzahlen für alle zwölf Tonstufen und Quinten, bei denen die sechs Quinten in den drei Quintenpaaren G-D-A, H-Fis-Cis und Es-B-F je 691 Cents groß sind, die Ausgleichsquinte Gis-Es mit 744 Cents angegeben ist und die restlichen Quinten rein sind mit 702 Cents. Demzufolge ist jede der verminderten Quinten um die Hälfte des syntonischen Kommas verkleinert:

3/2 (701.955 cent) minus 1/2 sK (1/2 x 21.506 cent = 10.753 cent) = 691.202 cent

Dieser Tabelle folgt der Hinweis auf eine 14-stufige Oktavteilung, in der für die Tonstufen D und B jeweils Quotienten zwei im Abstand des syntonischen Kommas genannt sind:
"Fogliano (Italien) halbierte die beiden syntonischen Kommata zwischen den doppelten Tönen D und B: Ludovico Foglianos Proportionen: C/Des 25/24; Des/D 16/15; D/D 81/80; D/Es 16/15; Es/E 25/24; E/F 16/15; F/Ges 25/24; Ges/G 27/25; G/As 25/24; As/A 16/15; A/B 16/15; B/B 81/80; B/H 25/24; H/c 16/15."

Quintintervalle Gegebene "Proportionen Quotienten / Centwerte"

H/c (h) 15/8 x 16/15 = 2/1 (c) 1200.000 cent

B/H (b) 9/5 x 25/24 = 15/8 (h) 1088.269 cent

B/B (b) 16/9 x 81/80 = 9/5 (b) 1017.596 cent

A/B (a) 5/3 x 16/15 = 16/9 (b) 996.090 cent

As/A (as) 25/16 x 16/15 = 5/3 (a) 884.359 cent

G/As (g) 3/2 x 25/24 = 25/16 (as) 772.628 cent

Ges/G (ges) 25/18 x 27/25 = 3/2 (g) 701.955 cent

F/Ges (f) 4/3 x 25/24 = 25/18 (ges) 568.717 cent

E/F (e) 5/4 x 16/15 = 4/3 (f) 498.045 cent

Es/E (es) 6/5 x 25/24 = 5/4 (e) 386.314 cent

D/Es (d) 9/8 x 16/15 = 6/5 (es) 315.641 cent

D/D (d) 10/9 x 81/80 = 9/8 (d) 203.910 cent

Des/D (cis) 25/24 x 16/15 = 10/9 (d) 182.404 cent

C/Des (c) 1/1 x 25/24 = 25/24 (cis) 70.673 cent

Bei den beiden Quotientenpaaren ist jeweils die „Die Hälfte“ der Quotienten zu nehmen:

9/5 und 16/9 - (9/5 x 16/9)^1/2 = (16/5)^1/2 = 4/5^1/2 (b) 1006.843 cent

9/8 und 10/9 - (9/8 x 10/9)^1/2 = (5/4)^1/2 = 5^1/2/2 (d) 193.157 cent

Bei der mit "Foglianos Proportionen" beschriebenen Konstruktion bleibt das dritte syntonische Komma ungeteilt, die Quinte h-fis wird um dieses Komma verkleinert, die im Quintenzirkel benachbarte Quinte fis-cis bleibt rein. Die Tabelle (Seite 117) weist jedoch die Quintintervalle H-Fis und Fis-Cis mit je 691 cent gleichgroß aus, ebenfalls ist im Text (Seite 57/58, Fußnote) die Erhöhung der Tonstufe Fis beschrieben. Daraus folgt , dass für die Tonstufe "Fis" ebenso "die Hälfte" zweier in Abstand eines syntonischen Kommas stehenden Quotientenpaares zu nehmen ist.

Ges/G (ges) 45/32 x 16/15 = 3/2 (g) 701.955 cent

Ges/Des (ges) 25/18 x 81/80 = 45/32 (ges) 590.225 cent

F/Ges (f) 4/3 x 25/24 = 25/18 (ges) 568.717 cent

45/32 und 25/18 - (45/32 x 25/18)^1/2 = (125/64)^1/2 = 5x5^1/2/8 (fis) 579.471 cent

Die Herleitung dieser Quotienten geschieht in gleicher Weise wie bei Fogliano für die Tonstufen „D“ und „B“ angegeben und wie bei Meister wird im Text erwähnt: "Pirani stimmte zunächst in reinen Intervallen:

Fis - Cis - Gis
! ! !
D - A - E - H
! ! ! !
B - F - C - G
!
Es

und erhöhte dann die Töne B, D und Fis um so viel, daß über und unter diesen gleiche Quinten von 691 Cents lagen."

Die Intervallquotienten sind (für B, D und Fis sind die Erhöhungen vermerkt):

5 x 5^1/2/8 ß (25/18) - 25/24 - 25/16
! ! !
5^1/2/2 ß (10/9) - 5/3 - 5/4 - 15/8
! ! ! !
4/5^1/2 ß (16/9) - 4/3 - 1/1 - 3/2
!
6/5

Damit stimmt Pirani in derselben Weise wie von Meister beschrieben. Die Quinte zwischen Gis und Es ist bei Meister/Pirani eine um die „kleine Diesis“ (128/125 = 1.24 oder 41.058858 cent) vergrößerte Ausgleichsquinte bei einer Intervallverteilung vom "Stimmtyp mitteltönig".

Wie bei der „Großterz-Mitteltönigkeit“ (siehe T 60) sind bei der „Halbierung des syntonischen Kommas“ acht Terzen mit je 386,314 Cent schwebungsfrei-rein (c-e, g-h, d-fis, a-cis, e-gis, es-g, b-d und f-a), die restlichen vier Terzen liegen mit je 427.372 Cent weit entfernt (h-es, fis-b, cis-f und gis-c).

Martin Vogel: Die Lehre von den Tonbeziehungen, 1975

Seite 228: „Die Mitteltontemperatur (steht) in einem direkten Zusammenhang mit der 14-tönigen Materialleiter des Fogliano. Foglianos Buch erschien 1529. Am Tonnetz wird dieser Zusammenhang ganz deutlich ... Foglianos Problem der doppelten der Ganztonstufen wird durch die Mitteltontemperatur gelöst, allerdings um den Preis der Quinte.“

„Die 14 Töne des Fogliano“ stellt Vogel so dar:

Fis - Cis - Gis
! ! !
D - A - E - H
! ! ! !
B - F - C - G - D
! !
Es - B

der Bezeichnung "Diatonische Skala mit chromatischer Ergänzung":

In beiden Temperaturen gibt es die dreimalige Quintenreduzierung um jeweils ein komplettes syntonisches 81/80-Komma, bei Kellner ungeteilt in den Quinten d-a, fis-cis und es-b, bei Meister zerlegt in zwei gleichgroße Teile in den Quintenpaaren g-d-a, h-fis-cis und es-b-f.

Die mit 41.058 Cent überschwebende Ausgleichsquinte hat nahezu die Größe einer halben Halbtonstufe (Viertelton) und liegt bei beiden Temperaturen bei gis-es.