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Dreiteilung des pythagoreischen Kommas - Bendeler

Wolfgang Theodor Meister: Die Orgelstimmung in Italien und Süddeutschland, 1991

"Bendelers erste Temperatur samt der dazugehörigen Stimmanweisung übernimmt Brandenburg/Halle.(Der Orgelbauer, 1764, S.347)" (Seite 62, Fußnote 14) Der Tabelle >Geschlossene halbregelmäßige Systeme / Dreiteilung des pythagoreischen Kommas< mit ganzzahligen Centzahlen für alle zwölf Tonstufen folgt: "Noch Johann Wendelin Brandenburg und Johann Samuel Halle bringen den Text Bendelers ungekürzt, vermindern die Quinten über C, D und H um je 1/3 pK auf 694 Cents: c g, g d, h fis schweben um 1/3 Komma unterwärts. Die übrigen Quinten stimme man rein." (Seite 119) Demnach gibt es eine Entwicklung von der ersten zur zweiten Temperatur Bendelers, bei der die Verteilung der drei Drittel des pythagoreischen Kommas gleichmäßiger auf die Quinten im Quintenzirkel verteilt wird.Die Modifikation (Nr.2) mit der reinen Quinte zwischen den vorher benachbarten geminderten Quinten c-g-d bringt die Tonstufen d und fis näher an die Gleichstufigkeit. Der Unterschied für diese Tonstufen zu den gleichstufig-großen (siehe T 31) wird von 200.000 cent – 188.270 cent = 11.730 cent um 1.955 cent (das ist 1/6 dieses Wertes) reduziert auf 200.000 cent – 190.225 cent = 9.775 cent:Bendeler (Nr.1 – durchgezogene Linie), Bendeler (Nr.2 – gestrichelte Ergänzungslinie):

Im Diagramm sind – gestrichelt – mit dem Verlauf der Kennlinie bei Bendeler (Nr 1) auch die Unterschiede bei der Lage der Tonstufen d und fis deutlich.

Jerzy Erdman: Ein Rechenmodell für historische Mensurationsmethoden, 1992

Der analytischen Darstellung des Rechenmodells sind zwei Tabellen beigefügt:
Tabelle 1: "Die Brüche nach Kircher, Mersenne, Bendeler, Dom Bedos und Töpfer"
Tabelle 2: "Die Koeffizienten i_n"

Die aus Diagrammen gewonnenen Intervall-Quotienten sind als "Brüche" bezeichnet; für jede Tonstufe ist der reziproke Wert zu nehmen, aus welchem sich die betreffende Dezimalzahl ausrechnet. Die Skala der Koeffizienten hat zwölf gleichstufig große Einheiten pro Oktave, also eine für jeden Halbton. Multipliziert mit dem Faktor 100 sind die Koeffizientenwerte identisch mit den Centzahlen, bei denen jeder Halbton 100 cent bzw. jedes ganze Oktav-Intervall 1200 cent hat.Auch bei Bendeler wird das pythagoreische Komma mit den drei Quinten c-g, g-d und h-fis kompensiert, dabei ist allerdings die c-g-Quinte mit 9.182 cent etwas stärker vermindert als die beiden anderen, welche um je 7.139 cent verkleinert werden, die Intervallverteilung also ungleichmäßiger beschrieben. (siehe T 86)