T 71

Fünfteilung des syntonischen Kommas

Die Besonderheit dieser Intervallverteilung ist, dass die vier Quinten c-g-d-a-e mit je 4.301 Cent um je 1/5 des 81/80-syntonischen Kommas (sK = 21.506 Cent) vermindert sind und das fünfte Fünftel dieses Kommas (sK) zusammen mit dem zum Zirkelschluss notwendigen Schisma-Intervall (1.954 Cent) auf die acht Quinten e-h-...-f-c verteilt ist. Dadurch werden die vier Quinten mit 697.654 Cent und die restlichen acht Quinten mit 701.173 Cent gleichgroß:
701.955 Cent – 21.505 Cent/5 = 701.955 Cent– 4.301 Cent = 697.654 Cent,
701.955 Cent – (21,506 Cent/5x8 + 1.954 Cent/8) = 701.955 Cent – (0.53765 Cent + 0.24425 Cent) = 701.955 Cent – 0.7819 Cent = 701.173 Cent.

Auch wenn das pythagoreische Komma nicht erwähnt ist, muss es bei der Berechnung der Größe der Quintintervalle berücksichtigt werden, damit sich „der Quintenzirkel schließt“ und das Intervall Grundton-Oktave schwebungsfrei 2/1-rein wird, hier also: sK + Schisma = pK. Die Summe aller Quinten muss immer das Intervall aus sieben reinen Oktaven sein:
7 x 1200 Cent = 8400 Cent, von der Summe aus zwölf reinen Quinten ( 12 x 701.955 Cent = 8423.460 Cent) ist also stets das pK (23.460 Cent) abzuziehen/zu kompensieren.

Beispielsweise lässt sich eine Intervallverteilung „Dreiteilung der kleinen Diesis (128/125)“ so berechnen: Die beiden Quinten c-e-g werden um je 1/3 von 41.059 Cent = 13.686 Cent verkleinert. Das dritte Drittel wird zu gleichen Teilen auf die restlichen zehn Quinten des Zirkels verteilt, wobei pro Quinte je 1/10 der Differenz zum pythagoreischen Komma zuzurechnen ist.

Die Berücksichtigung der Differenz zum pythagoreischen Komma wäre auch gleichmäßig verteilt auf alle zwölf Quinten des Zirkels denkbar, die bei Meister angegebenen Centzahlen belegen jedoch eindeutig die hier vorgestellte Intervallverteilung.

Bei der “ Fünfteilung des pythagoreischen Kommas ” (siehe T 72) dagegen sind die fünf im Quintenzirkel benachbarten Quinten c – g – d – a – e – h um je 1/5 pK gemindert, die weiteren sieben Quinten des Zirkels bleiben 3/2-rein.

In beiden Fällen bildet sich der für den „Stimmtyp wohltemperiert“ typische Trichter bei der räumlichen Darstellung der Abweichungen der Tonstufen beim Wechsel zu einer anderen als der Grundtonstufe der musikalischen Temperatur. Dieser Trichter fällt der bei der Fünfteilung des syntonischen Kommas deutlich flacher aus als bei der Fünfteilung des pythagoreischen Kommas: Die Verstimmung der Temperatur bei Modulationen ist im Tonstufenzentrum um fis/ges-Tonart und Tritonus-Tonstufe mit 14.076 Cent bei der Fünfteilung des syntonischen Kommas ist gegenüber 23.460 cent der Fünfteilung des pythagoreischen Kommas nur etwa 2/3 so groß.

Vier gleichgroße Intervallen liegen zwischen den Tonstufen C und e, acht gleichgroße zwischen e und c, das ist auch bei der „gleichstufigen Temperatur mit einer reinen Terz“ (siehe T 117) so. Der Unterschied besteht darin, dass es sich bei jener um Halbton-Intervalle handelt, hier aber um Quint-Intervalle (vergleiche Kennlinien 1 und 2 beider Temperaturen), das Tonintervall c-e ist hier auch keine „reine Terz“.