T 86
Die Brüche
nach Bendeler
Jerzy
Erdman: Ein Rechenmodell für historische Mensurationsmethoden, 1992
Der analytischen Darstellung des Rechenmodells sind zwei Tabellen beigefügt:
Tabelle 1:
"Die Brüche nach Kircher, Mersenne, Bendeler, Dom Bédos und Töpfer"
Tabelle 2: "Die Koeffizienten in"
Die aus Diagrammen gewonnenen Intervall-Quotienten sind als "Brüche" bezeichnet; für jede Tonstufe ist der reziproke Wert zu nehmr entsprechenden Dezimalzahl. Die Skala der Koeffizienten hat zwölf gleichstufig große Einheiten pro Oktave, also eine für jeden Halbton. Multipliziert mit dem Faktor 100 sind die Koeffizientenwerte identisch mit den Centzahlen, bei denen jeder Halbton 100 cent bzw. jedes ganze Oktav-Intervall 1200 cent hat.
gegebene „Brüche“ /
„Koeffizienten“ in Intervallquotienten und Cent-Zahlen:
c = 2/1
12.0
2/1 1200.000 Cent
H =
1089/1024
10.935
2048/1089
1093.454 Cent
B = 9/8 9.961
16/9 996.090 Cent
A =
9801/8192
8.895 16384/9801
889.544 Cent
Gs =
81/64
7.922
128/81 792.180 Cent
G = 87846/65536 6.928 65536/43923 694.773 Cent
Fs
= 729/512 5.883
1024/729 588.270 Cent
F = 3/2 4.980
4/3 498.045 Cent
E =
3267/2048
3.915
4096/3267 391.499 Cent
Ds = 27/16 2.941
32/27 294.135 Cent
D = 29403/16384 1.876
32768/29403 187.589 Cent
Cs = 243/128 0.902
256/243 90.225 Cent
C = - 0.0
1/1
0.000 Cent
Zur Umrechnung der von Erdman für Bendeler gegebenen „Brüche“(Bd) in die „Intervallquotienten“(Q) ist die Formel anzuwenden: 2/B(endeler) = Q(otienten).
Wolfgang Theodor Meister: Die
Orgelstimmung in Italien und Süddeutschland, 1991
Bei Meister sind durch die „Dreiteilung des pythagoreischen Kommas“ die drei Quinten c-g, g-d und h-fis mit je 7.820 cent um denselben Betrag vermindert.
(f) 4/3 x 3/2
: 2 = 1/1 (c)
(b) 16/9 x 3/2
: 2 = 4/3 (f)
(es) 32/27 x 3/2 :
= 16/9 (b)
(as) 128/81 x
3/2
: 2 = 32/27 (es)
(des) 256/243 x 3/2
= 128/81 (as)
(ges) 1024/729 x
3/2
: 2 = 256/243 (des)
(h) 2024/1089 x 3/2 : 243/242
: 2 = 1024/729
(ges)
(e) 4096/3267 x 3/2
= 2024/1089 (h)
(a)
16384/9801 x 3/2
: 2 = 4096/3267
(e)
(d)
32768/29403 x 3/2 :
= 16384/9801 (a)
(g)
65536/43923 x 3/2 : 243/242
: 2 =
32768/29403 (d)
(c) 1/1 x 3/2 : 32x114/217 = 65536/43923 (g)
Der zweimal benutzte ratio-superpartikularis-Quotient
243/242 = 1.004132231 oder 7.13912 cent kompensiert je ca.30% des
pythagoreischen Kommas, für den Rest von ca. 40% ergibt sich der Quotient 32x114/217 = 1.005317688
oder 9.18176 cent.