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Die  Brüche  nach  Bendeler

Jerzy Erdman: Ein Rechenmodell für historische Mensurationsmethoden, 1992

Der analytischen Darstellung des Rechenmodells sind zwei Tabellen beigefügt:

Tabelle 1: "Die Brüche nach Kircher, Mersenne, Bendeler, Dom Bédos und Töpfer"           
Tabelle 2: "Die Koeffizienten in"

Die aus Diagrammen gewonnenen Intervall-Quotienten sind als "Brüche" bezeichnet; für jede Tonstufe ist der reziproke Wert zu nehmr entsprechenden Dezimalzahl. Die Skala der Koeffizienten hat zwölf gleichstufig große Einheiten pro Oktave, also eine für jeden Halbton. Multipliziert mit dem Faktor 100 sind die Koeffizientenwerte identisch mit den Centzahlen, bei denen jeder Halbton 100 cent bzw. jedes ganze Oktav-Intervall 1200 cent hat.

gegebene „Brüche“ / „Koeffizienten“ in Intervallquotienten und Cent-Zahlen:

       c    =     2/1        12.0               2/1         1200.000  Cent

       H    =  1089/1024     10.935          2048/1089      1093.454  Cent

       B    =     9/8         9.961            16/9          996.090  Cent

       A    =  9801/8192      8.895         16384/9801       889.544  Cent

       Gs   =    81/64        7.922           128/81         792.180  Cent

       G    = 87846/65536     6.928         65536/43923      694.773  Cent

       Fs   =   729/512       5.883          1024/729        588.270  Cent

       F    =     3/2         4.980             4/3          498.045  Cent

       E    =  3267/2048      3.915          4096/3267       391.499  Cent

       Ds   =    27/16        2.941            32/27         294.135  Cent

       D    = 29403/16384     1.876         32768/29403      187.589  Cent

       Cs   =   243/128       0.902           256/243         90.225  Cent

       C    =      -          0.0               1/1            0.000  Cent

Zur Umrechnung der von Erdman für Bendeler gegebenen „Brüche“(Bd) in die „Intervallquotienten“(Q) ist die Formel anzuwenden: 2/B(endeler) = Q(otienten).

Wolfgang Theodor Meister: Die Orgelstimmung in Italien und Süddeutschland, 1991

 

Bei Meister sind durch die „Dreiteilung des pythagoreischen Kommas“ die drei Quinten c-g, g-d und h-fis mit  je 7.820 cent um denselben Betrag vermindert.

       (f)     4/3     x  3/2               :  2  =      1/1     (c)
       (b)    16/9     x  3/2               :  2  =      4/3     (f)
      (es)    32/27    x  3/2  :                  =     16/9     (b)
      (as)   128/81    x  3/2               :  2  =     32/27    (es)
     (des)   256/243   x  3/2                     =    128/81    (as)
     (ges)  1024/729   x  3/2               :  2  =    256/243   (des)
       (h)  2024/1089  x  3/2  :   243/242  :  2  =   1024/729   (ges)
       (e)  4096/3267  x  3/2                     =   2024/1089  (h)
       (a) 16384/9801  x  3/2               :  2  =   4096/3267  (e) 
       (d) 32768/29403 x  3/2  :                  =  16384/9801  (a)
       (g) 65536/43923 x  3/2  :   243/242  :  2  =  32768/29403 (d)
       (c)     1/1     x  3/2  : 32x114/217         =  65536/43923 (g)

Der zweimal benutzte ratio-superpartikularis-Quotient 243/242 = 1.004132231 oder 7.13912 cent kompensiert je ca.30% des pythagoreischen Kommas, für den Rest von ca. 40% ergibt sich der Quotient  32x114/217 = 1.005317688 oder  9.18176 cent.