T 101
Pythagoreische Stimmung (Quintkette ges
- h)
Franz Josef Ratte: Die Temperatur der Clavierinstrumente, 1991
Als zweite der sieben Möglichkeiten, ein
Tasteninstrument mit chromatischer Klaviatur zu stimmen (siehe T 100), nennt
Ratte die „Quintkette ges-h“.
Der Tabelle <Offene regelmäßige Systeme / Pythagoreisch< mit ganzzahligen
Centzahlen für alle zwölf Tonstufen folgt der Hinweis: „Hier wurde der Wolf auf
H-Fis gelegt wie bei Henri Arnaut de Zwolle zwischen 1436 und 1454. Die
Position der Wolfsquinte ist jedoch beliebig, nur müssen die übrigen 11 Quinten
rein sein.“ (Seite 111)
Bei der „Quintkette II, ges-h“ ergeben sich:
“Wolfsquinte h-ges” und Terzen d-ges, a-des, e-as und h-es
In chromatischer Folge werden In derReihenfolge des
zum Aufbau der Temperatur als Quintenzirkels wird die
Intervallquotienten verwendet: Temperatur so aufgebaut:
Apotome -2187/2048 - 113.685 cent
531441/524288
(pythagoreisches
Komma)
Leimma - 256/243 - 90.225 cent
243/128 x
256/243 = 2/1 (c) 4/3 x 3/2 : 2 = 1/1 (c)
16/9
x 2187/2048 = 243/128 (h) 16/9 x 3/2 : 2 = 4/3 (f)
27/16
x 256/243 = 16/9 (b) 32/27 x 3/2
= 16/9 (b)
128/81 x
2187/2048 = 27/16 (a) 128/81
x 3/2 :
2 = 32/27 (es)
3/2
x 256/243 = 128/81
(as) 256/243 x
3/2
= 128/81 (as)
1024/729
x 2187/2048 = 3/2 (g) 1024/729 x 3/2 : 2 = 256/243 (des)
4/3 x
256/243 = 1024/729 (ges) 243/128 x 3/2 :531441/524288: 2 = 1024/729 (ges)
81/64
x 256/243 = 4/3 (f) 81/64 x 3/2
= 243/128 (h)
32/27 x 2187/2048 =
81/64 (e) 27/16 x 3/2 : 2 = 81/64 (e)
9/8
x 256/243 = 32/27 (es) 9/8 x 3/2
= 27/16 (a)
256/243 x 2187/2048 =
9/8
(d)
3/2 x 3/2 : 2
= 9/8 (d)
1/1
x 256/243 = 256/243 (des) 1/1 x 3/2
= 3/2 (g)
Wolfgang Theodor Meister: Die Orgelstimmung in
Italien und Süddeutschland, 1991
Seite 30/31: "Diese Stimmung wird häufig als für mehrstimmige Musik ungeeignet klassifiziert, und nur vereinzelt finden sich Hinweise darauf, dass diese Temperatur vier fast reine große Terzen und drei nahezu reine kleine Terzen enthält. Legt man die Wolfsquinte auf H-Fis wie bei Henri Arnaut de Zwolle, erhält man quasi reine Dur-Dreiklänge auf D, A und E, während die moll-Akkorde auf Fis, Cis und Gis von ähnlicher Qualität sind ... Diese harmonischen Möglichkeiten machen es wahrscheinlich, daß diese Variante der pythagoreischen Stimmung allgemein üblich war."
Jerzy Erdman: Ein
Rechenmodell für historische Mensurationsmethoden, 1992
Mit der Angabe von Quotienten (Tabelle 1: „Die
Brüche nach Dom Bedos“, Seite 342) und Cent-Zahlen (Tabelle 2: „Die
Koeffizienten in“) beschreibt Erdman die Intervallverhältnisse. Im
Text wird beschrieben, wie die „Brüche (B)“ in „Intervallkoeffizienten (in
und kn)“ umzurechnen sind nach den Formeln
kn = 1:2 x (1-B)
(S.348) und in = 12 x log kn/log
2 (S.341).
Für die Tonstufe h wird exemplarisch die Umrechnung vorgeführt:
In der Tabelle ist für h0 der Quotient/“Bruch“ 179/243 genannt. In die Formel eingesetzt ist:
kn = 1 : 2x(1 – 179/243) = 1 : 2x(243/243 – 179/243) = 1 : 2x64/243 = 1 : 128/243 = 243/128
Dieses „Zwischenergebnis der Untersuchung“ (Erdman, Seite 341) ist in allen Skalen dieser Studie als „Intervallquotient“ und ausgerechnet als „Dezimalzahl“ der Tonstufe genannt. In diesem Fall ist 243/128 = 1.8984375 = kn nach der zweiten Formel umzurechnen:
in = 12 x (log1.8984375/log2) = 12 x (0.2783963/0.30103) = 12 x 0.9248125 = 11.09775
Dieses von Erdman auf 11.098 in der Tabelle „Die Koeffizienten in“ gekürzte Ergebnis ist nach der logarithmischen Umrechnung die „Centzahl des Intervalls“ (große Septime c-h), wenn es mit dem Faktor 100 multipliziert wird (oder nach Formel in = 1200 x log kn/log 2).
Die vollständig umgerechnete Tabellen lauten:
Für Dom Bedos gegebene
umgeformt in
"Brüche" und
Intervallquotienten und
"Koeffizienten"
Cent-Zahlen
c = - - 12.0
2/1 - 1200.000 Cent
h = 179/243 - 11.098
243/128 - 1109.775 Cent
b = 23/32 -
9.961
16/9 - 996.090 Cent
a = 19/27 -
9.059
27/16 - 905.865 Cent
gs = 175/256
- 7.992
128/81 - 792.180 Cent
g = 2/3 - 7.020
3/2 - 701.955 Cent
fs = 1319/2048 - 5.883
1024/729 - 588.270 Cent
f = 5/8 - 4.980
4/3 - 498.045 Cent
e = 49/81 -
4.078
81/64 - 407.820 Cent
es = 37/64 -
2.941
32/27 - 294.135 Cent
d = 5/9 - 2.039
9/8 - 203.910 Cent
cs =
269/512 - 0.902
256/243 - 90.225 Cent
c = 1/2 - 0.0 1/1 - 0.000 Cent
Die für Dom Bédos gegebene Koeffizientenskala zeigt mit allen umgerechneten Werten eindeutig die Skala >pythagoreische Stimmung mit der Quintkette ges - h<, allerdings mit der Einschränkung für die Tonstufe "gs", für die bei Erdman der Wert in = 7.992 angegeben ist, während 792.180 Cent in der Cent-Tabelle zu errechnen sind:
In der Tabelle ist für gs der Quotient/“Bruch“ 175/256 genannt. In die Formel eingesetzt ist:
kn = 1 : 2x(1 – 175/256) = 1 : 2x(256/256 – 175/256) = 1 : 2x81/256 = 1 : 81/128 = 128/81
in = 12 x (log1.5802469/log2) = 12 x (0.198725/0.30103) = 12 x 0.66015 = 7.9218
Zu Jerzy Erdman: Ein
Rechenmodell für historische Mensurationsmethoden, 1992
Jerzy Erdman beschreibt als „Skala Dom Bedos“ eindeutig die „Pythagoreische Stimmung (Quintkette ges-h). Die "Temperatur des Dom Bedos de Celles, 1770" (siehe T 94) ist von Manfred Tessmer ähnlich der Großterz-Mitteltönigkeit (siehe T 60) mit elf geminderten Quinten und einer stark überschwebenden Ausgleichsquinte angegeben.