T 102

Pythagoreische Stimmung (Quintkette des - fis)

Franz Josef Ratte: Die Temperatur der Clavierinstrumente, 1991

Als dritte der sieben Möglichkeiten, ein Tasteninstrument mit chromatischer Klaviatur zu stimmen (siehe T 100), nennt Ratte die „Quintkette des-fis“.

Bei der „Quintkette III, ges-h“ ergeben sich:

“Wolfsquinte fis-des” und Terzen a-des, e-as, h-es und fis-b

In chromatischer Folge werden In derReihenfolge des

zum Aufbau der Temperatur als Quintenzirkels wird die

Intervallquotienten verwendet: Temperatur so aufgebaut:

Apotome -2187/2048 - 113.685 cent

531441/524288

(pythagoreisches Komma)

Leimma - 256/243 - 90.225 cent

243/128 x 256/243 = 2/1 (c) 4/3 x 3/2 : 2 = 1/1 (c)

16/9 x 2187/2048 = 243/243 (h) 16/9 x 3/2 : 2 = 4/3 (f)

27/16 x 256/243 = 16/9 (b) 32/27 x 3/2 : = 16/9 (b)

128/81 x 2187/2048 = 27/16 (a) 128/81 x 3/2 : 2 = 32/27 (es)

3/2 x 256/243 = 128/81 (as) 256/243 x 3/2 = 128/81 (as)

729/512 x 256/243 = 3/2 (g) 729/512 x 3/2 :531441/524288: 2 = 256/243 (des)

4/3 x 2187/2048 = 729/512 (ges) 243/128 x 3/2 : 2 = 729/512 (ges)

81/64 x 256/243 = 4/3 (f) 81/64 x 3/2 = 243/128 (h)

32/27 x 2187/2048 = 81/64 (e) 27/16 x 3/2 : 2 = 81/64 (e)

9/8 x 256/243 = 32/27 (es) 9/8 x 3/2 : = 27/16 (a)

256/243 x 2187/2048 = 9/8 (d) 3/2 x 3/2 : 2 = 9/8 (d)

1/1 x 256/243 = 256/243 (des) 1/1 x 3/2 = 3/2 (g)

Jerzy Erdman: Ein Rechenmodell für historische Mensurationsmethoden, 1992

Zur Umrechnung der für Töpfer gegebenen „Brüche“(B) in die „Intervallquotienten“(Q) (Seite 342) ist die Formel anzuwenden: 1/2x(1-B) = Q .(Seite348)
"Die >Koeffizenten i_n< entsprechen zahlenmäßig den Dimensionen der Intervalle im Verhältnis zum Fundamentalton, in Cent ausgedrückt und durch 100 dividiert." (Seite 348)

Für Töpfer gegebene umgeformt in

"Brüche" und Intervallquotienten und

"Koeffizienten" Cent-Zahlen

c = - - 12.0 2/1 - 1200.000 Cent

h = 179/243 - 11.098 243/128 - 1109.775 Cent

b = 23/32 - 9.961 16/9 - 996.090 Cent

a = 19/27 - 9.059 27/16 - 905.865 Cent

gs = 175/256 - 7.992 128/81 - 792.180 Cent

g = 2/3 - 7.020 3/2 - 701.955 Cent

fs = 473/729 - 6.117 729/512 - 611.730 Cent

oder fs = 1319/2048 - 5.883 oder 1024/729 - 588.270 Cent

f = 5/8 - 4.980 4/3 - 498.045 Cent

e = 49/81 - 4.078 81/64 - 407.820 Cent

es = 37/64 - 2.941 32/27 - 294.135 Cent

d = 5/9 - 2.039 9/8 - 203.910 Cent

cs = 269/512 - 0.902 256/243 - 90.225 Cent

c = 1/2 - 0.0 1/1 - 0.000 Cent

Die für Töpfer gegebene Koeffizientenskala zeigt eindeutig die Centwerte >pythagoreische Stimmung mit der Quintkette des-fis<, wenn für die Tonstufe fs der zu Dom Bedos (siehe T 101) abweichende Quotient 729/512 genommen wird. Für die Tonstufe "gs" wird bei Erdman der Wert i_n = 7.992 angegeben ist, während sich 792.1802 Cent in der Quintkette errechnet.