T 118

Henricus Grammateus, 1518

2Der Mathematiker Henricus Grammateus ( Heinrich Schreyber von Erfurt) ist ... der erste, der die Teilung des 9/8-Ganztons in zwei gleichgroße Halbtöne bei einer Skalenkonstruktion vornimmt".(Seite 249). Nach den Zahlen der Intervalltabelle auf Seite 250 sind die beiden Quinten h-fis und es-b um jeweils 1/2 pK verkürzt, es "ergeben sich durch diese ... Verteilung des Kommas auf zwei ungebräuchliche Quinten acht gute Terzen (396'), wobei nur die diatonischen Terzen (c-e, f-a, g-h und b-d) ihre pythagoreischen Werte behalten.“ (81/64 oder 407.820 cent; Seite 251)

Fis - Cis - Gis - Dis/Es
! ! ! !
b - f - c - g - d - a - e - h

Die zugehörigen Intervall-Quotienten sind:

2^1/2 - 3x2^1/2/4 - 9x2^1/2/8 - 27x2^1/2
! ! ! !
16/9 - 4/3 - 1/1 - 3/2 - 9/8 - 27/16 - 81/64 - 243/128

Der Aufbau der Tonleiter, dargestellt wie bei „Version einer Reinen Stimmung“ (siehe T 81) und „Beschreibung einer Temperatur“ (siehe T 82):

(h) 243/128 x ! 256/243 = 2/1 (c)
(b) 16/9 x 2187/2048 = 243/128 (h)
(a) 27/16 x 256/243 = 16/9 (b)
(gis) 9x2^1/2/8 x 3x2^1/2/4 = 27/16 (a)
(g) 3/2 x 3x2^1/2/4 = 9x2^1/2/8 (gis)
(fis) 2^1/2 x 3x2^1/2/4 = 3/2 (g)
(f) 4/3 x 3x2^1/2/4 = 2^1/2 (fis)
(e) 81/64 x 256/243 = 4/3 (f)
(dis) 27x2^1/2/32 x 3x2^1/2/4 = 81/64 (e)
(d) 9/8 x 3x2^1/2/4 = 27x2^1/2/32 (dis)
(cis) 3x2^1/2/4 x 3x2^1/2/4 = 9/8 (d)
(c) 1/1 x 3x2^1/2/4 = 3x2^1/2/4 (cis)

Zum Aufbau des Tonstufen-Systems werden in der Folge des Quintenzirkels 3/2-Quinten benutzt, die beiden Quinten h-fis und dis/es-b sind jeweils um ein halbes pyrthagoreisches Komma vermindert:

(f) 4/3 x 3/2 : 2 = 1/1 (c)
(b) 16/9 x 3/2 : 2 = 4/3 (f)
(es) 27x2^1/2/32 x 3/2 : 1/2pK = 16/9 (b)
(as) 9x2^1/2/8 x 3/2 : 2 = 27x2^1/2/32(es)
(cis) 3x2^1/2/4 x 3/2 = 9x2^1/2/8 (as)
(fis) 2^1/2 x 3/2 : 2 = 3x2^1/2/4 (cis)
(h) 243/128 x 3/2 : 1/2pK : 2 = 2^1/2 (fis)
(e) 81/64 x 3/2 = 243/128 (h)
(a) 27/16 x 3/2 : 2 = 81/64 (e)
(d) 9/8 x 3/2 = 27/16 (a)
(g) 3/2 x 3/2 : 2 = 9/8 (d)
(c) 1/1 x 3/2 = 3/2 (g)

Hans-Joachim Schugk:
Praxis barocker Stimmungen und ihre theoretischen Grundlagen, 1980

"Mit 690 Cent sind die beiden (bei Zweiteilung des Pythagoreischen Kommas H-Fis und B-F, Tabelle Seite 110) entstehenden Quinten zwar noch deutlich verstimmt, aber die zwei entstehenden Wölfe sind > nicht mehr ganz so ausgewachsen <." (Seite 43)

Helmut K.H. Lange: Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur der Musikinstrumente vom Mittelalter bis zur Gegenwart, 1968

„Eine der mathematisch reizvollsten Temperaturen stellt die Orgelstimmung von Heinrich Schreyber alias Grammateus aus Erfurt dar. Die Halbtöne ... stimmt er rein pythagoreisch, es entstehen nicht nur zehn reine Quinten, sondern wir konstantieren auch die erste uns bekannte Teilung des pythagoreischen Kommas, da die Quinten H-Fis und B-F um je ein halbes Komma zu eng sind.“ (Seite 492)

Nach Lange ist bei Grammateus (siehe T 06) außer der h-fis-Quinte nicht die es-b- sondern die b-f-Quinte vermindert.