T 30

Alexander Malcolm, ca. 1721

Helmut K.H. Lange:

Ein Beitrag zur Musikalischen Temperatur der Musikinstrumente, 1968

Seite 492: "Ein ... genialer mathematischer Einfall ist es, auf den fünf Quotienten 15:16, 16:17, 17:18, 18:19.19:20 eine musikalische Temperatur aufzubauen. Bisher war man geneigt, diese Entdeckung Alexander Malcolm, ca. 1721, zuzuschreiben. Der Ruhm hierfür gebührt aber eindeutig Ganassi." (siehe T 29)

Bei den genannten Intervallquotienten ist die Zahl im Zähler um 1 größer als die im Nenner, weshalb diese Brüche auch "überteilige Proportionen" genannt werden, im Barock als "ratio superpartikularis" bezeichnet.

Die Tonstufen werden von der Grundtonstufe c (1/1) aus in der chromatischen Folge mit diesen Quotienten entwickelt:

(h) 15/8 x 16/15 = 2/1 (c)

(b) 85/48 x 18/17 = 15/8 (h)
(a) 5/3 x 17/16 = 85/48 (b)

(gis) 19/12 x 20/19 = 5/3 (a)
(g) 3/2 x 19/18 = 19/12 (gis)
(fis) 17/12 x 18/17 = 3/2 (g)
(f) 4/3 x 17/16 = 17/12 (fis)
(e) 5/4 x 16/15 = 4/3 (f)

(dis) 19/16 x 20/19 = 5/4 (e)
(d) 9/8 x 19/18 = 19/16 (dis)
(cis) 17/16 x 18/17 = 9/8 (d)
(c) 1/1 x 17/16 = 17/16 (cis)

Bei der Entwicklung der Quotienten in der Folge des Quintenzirkels kommen ebenfalls fünf Quotienten mit "überteiligen Proportionen" zur Anwendung: 81/80 (der Quotient des syntonischen Kommas), 136/135, 153/152, 171/170 und 256/255.

(f) 4/3 x 3/2 : 2 = 1/1 (c)
(b) 85/48 x 3/2 x 256/255 : 2 = 4/3 (f)
(es) 19/16 x 3/2 : 171/170 = 85/48 (b)
(gis) 19/12 x 3/2 : 2 = 19/16 (es)
(cis) 17/16 x 3/2 : 153/152 = 19/12 (gis)
(fis) 17/12 x 3/2 : 2 = 17/16 (cis)
(h) 15/8 x 3/2 x 136/135 : 2 = 17/12 (fis)
(e) 5/4 x 3/2 = 15/8 (h)
(a) 5/3 x 3/2 : 2 = 5/4 (e)
(d) 9/8 x 3/2 : 81/80 = 5/3 (a)
(g) 3/2 x 3/2 : 2 = 9/8 (d)
(c) 1/1 x 3/2 = 3/2 (g)

Die beiden Verkleinerungs-Tonintervalle 153/152 und 171/170 haben zusammen die Größe des syntonischen Kommas 81/80, die beiden Intervalle 136/135 und 256/255 zusammen die Größe des Diaschismas 2048/2025:

153/152 x 171/170 = 81/80 ; 136/135 x 256/255 = 2048/2025