T 100

Pythagoreische  Stimmung  (Quintkette  ces - e)

Franz Josef Ratte: Die Temperatur der Clavierinstrumente, 1991

Seite 95ff: „ Die zunehmende Mehrstimmigkeit im 14. und 15. Jh. brachte eine Erweiterung des Tonsystems (eine von Boethius, etwa 480-525 mitgeteilte diatonische Monochordteilung, Seite 65) durch chromatische Zwischenstufen mit sich ... Die siebengliedrige Quintkette
b-f-c-g-d-a-h, die der Konstruktion der diatonischen pythagoreischen Skala zugrunde liegt, muß um vier reine Quinten erweitert werden. ... Die sieben Möglichkeiten, ein Tasteninstrument mit chromatischer Klaviatur zu stimmen, lassen sich ... anschaulich darstellen und bzgl. der Lage der „Wolfsquinten“ und der fast reinen Terzen gut miteinander vergleichen (zu beachten sind die „enharmonischen Verwechselungen“ bei den Tonnamen): 

                                     I            ces  ges  des  as  es  b  f  ...  a  e

        (siehe T 101)        II                  ges  des  as  es  b  f  ...  a  e  h

        (siehe T 102)        III                        des  as  es  b  f  ...  a  e  h  fis

        (siehe T 103)       IV                                as  es  b  f  …  a  e  h  fis  cis

        (siehe T 13)         V                                       es  b  f  …  a  e  h  fis  cis  gis

        (siehe T 104)       VI                                           b  f  …  a  e  h  fis  cis  gis  dis

        (siehe T 105)        VII                                             f  …  a  e  h  fis  cis  gis  dis  ais

 

Da sich der Zirkel der reinen Quinten nicht schließt, auf dem Tasteninstrument aber nur zwölf Tasten innerhalb einer Oktave zur Verfügung stehen, ergibt sich als Restintervall eine unreine Quinte, die sogenannte „Wolfsquinte“, die um das pythagoreische Komma kleiner ist
(702 C’ – 24 C’ = 678 C’) als die reine Quinte (702 C’), ...ergeben sich aber Terzintervalle, die sich nur um ein Schisma (ca. 2 C’) von den reinen Terzen (386 C’) unterscheiden:384 C’.“ (Eine „Quintkette eses-g“ gibt Ratte nur als Intervalltabelle und Q/T-Diagramm, siehe T 108)

 

Bei der „Quintkette I, ces-e“ ergeben sich:

                                             “Wolfsquinte e-ces” und Terzen g-ces, d-ges, a-des und e-as

 

       In chromatischer Folge werden                                           In derReihenfolge des

       zum Aufbau der Temperatur als                                        Quintenzirkels wird die

        Intervallquotienten verwendet:                                        Temperatur so aufgebaut:

 

     Apotome -2187/2048 -  113.685 cent                                                       

                                                            531441/524288                     

                                                       (pythagoreisches Komma)                

      Leimma - 256/243  -   90.225 cent                                                        

 

  4096/2187x 2187/2048  =    2/1      (c)      4/3   x 3/2 :      2          =    1/1     (c) 

    16/9   x  256/243   = 4096/2187 (ces)     16/9   x 3/2 :      2          =    4/3     (f) 

    27/16  x  256/243   =   16/9      (b)     32/27  x 3/2 :                 =   16/9     (b) 

   128/81  x 2187/2048  =   27/16     (a)    128/81  x 3/2 :      2          =   32/27    (es)

     3/2   x  256/243   =  128/81    (as)    256/243 x 3/2                   =  128/81    (as)

  1024/729 x 2187/2048  =    3/2      (g)   1024/729 x 3/2 :      2          =  256/243  (des)

     4/3   x  256/243   = 1024/729  (ges)   4096/2187x 3/2 :      2          = 1024/729  (ges)

    81/64  x  256/243   =    4/3      (f)     81/64  x 3/2 :531441/524288    = 4096/2187 (ces)

    32/27  x 2187/2048  =   81/64     (e)     27/16  x 3/2 :      2          =   81/64    (e) 

     9/8   x  256/243   =   32/27    (es)      9/8   x 3/2 :                 =   27/16    (a) 

   256/243 x 2187/2048  =    9/8      (d)      3/2   x 3/2 :      2          =    9/8     (d) 

     1/1   x  256/243   =   256/243 (des)      1/1   x 3/2                   =    3/2     (g) 

 

Ratte zeigt auf Seite 117 eine „Quintkette fes-a“ (siehe T 106) mit Intervalltabelle und Quint-Terz-Diagramm, auf Seite 121 eine „Quintkette eses-g“ (siehe T 108).